De hecho no hay diferencia. Cualquier expresión que se evalúe como un valor distinto de cero se considera una expresión lógica verdadera. Y una expresión que se evalúa como cero se considera una expresión lógica falsa.

Del Estándar C (6.8.5 Sentencias de iteración)

4 Una sentencia de iteración hace que una sentencia llamada cuerpo del bucle se ejecute repetidamente hasta que la expresión de control se compara igual a 0. La repetición ocurre independientemente de si se ingresa al cuerpo del bucle desde la sentencia de iteración o mediante un salto.1

Fíjate que en C una expresión con un operador de igualdad tiene como valor 1 o 0.

Entonces, la expresión str[i] != '\0' produce 1 (valor distinto de cero) si la relación es verdadera o -0 en caso contrario.

En C++, el tipo de dicha expresión es bool y su valor es verdadero o falso.

Del estándar C++ 14 (4.12 conversiones booleanas)

1 Un valor pr de aritmética, enumeración sin ámbito, puntero o puntero a tipo de miembro se puede convertir en un valor pr de tipo bool. Un valor cero, un valor de puntero nulo o un valor de puntero de miembro nulo se convierte en falso; cualquier otro valor se convierte en verdadero. Para la inicialización directa (8.5), un prvalue de tipo std::nullptr_t se puede convertir en un prvalue de tipo bool; el valor resultante es falso.